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2025年中学生数学奥林匹克竞(决赛)第二天试题
第二天试题分析
CMO第二天的试题，延续了CMO“重创新、强综合、考构造” 的核心风格，难度处于 CMO 的中高段(接近IMO中等题水平)，具体分析如下：
模块融合性强，3道题均不是单一模块的 “纯题”：
第4题是组合+代数，需用 “计数/状态变化” 的组合思想结合代数归纳;
第5题是代数+分析，涉及对称求和、放缩技巧与极限思维;
第6题是数论+组合，需结合数论中的 “模运算/原根” 与组合中的 “排列设计”。
强调 “构造性证明/存在性分析”这是CMO(尤其是第二天试题)的典型特点：
第 4 题既要证明操作终止(找 “不变量” 或 “递减量”)，又要构造最大次数的情况;
第5题需要对实数列进行 “极端构造”(如让多数项为0、少数项非零);
第6题则需构造满足同余条件的排列，同时利用数论条件限制(a,b,c)的结构。
逻辑链长，需 “多步转化”题目往往不能直接套用公式，需先将问题 “翻译” 为数学模型：
第5题需先对对称求和式;
第6题需将 “排列满足同余” 转化为 “线性递推的模性质”，再结合数论条件(如(p−1,n)=1)分析递推的周期性。
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